Funzionale di Minkowski

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In matematica, in particolare in analisi funzionale, un funzionale di Minkowski è una funzione che richiama il concetto di distanza tipico degli spazi vettoriali.

Dato uno spazio vettoriale reale o complesso ed un suo sottoinsieme , si definisce il corrispondente funzionale di Minkowski:

come:

Tale funzionale è spesso detto gauge di .

Si assume implicitamente nella definizione che e che l'insieme non è vuoto. Affinché goda delle proprietà di una seminorma è necessario imporre alcune restrizioni sulla scelta di :

  • L'insieme è un insieme convesso, in modo che è subadditiva.
  • Se è un insieme bilanciato, ovvero per tutti gli , si ha che per ogni , in modo che è omogenea.

Un insieme con tali proprietà è detto assolutamente convesso.

Ad esempio, si consideri uno spazio normato con norma , e sia la sfera unitaria in . La funzione data da:

è la norma su . Si tratta di un esempio di funzionale di Minkowski.

Convessità e bilanciatezza di K

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Il fatto che è un insieme convesso implica la subadditività di . Infatti, si supponga che . Allora per tutti gli si ha . L'assunzione che sia convesso implica che lo è anche , e quindi . Per definizione di funzionale di Minkowski si ha:

Ma il membro di sinistra è , cioè la precedente relazione diventa:

che è la disuguaglianza cercata. Il caso generale segue in modo ovvio.

Si nota che la convessità di , insieme all'assunzione che non è vuoto, implica che è un insieme assorbente.

Il fatto che sia bilanciato implica inoltre che se e solo se , e quindi:

Dato uno spazio vettoriale sul campo , sia il suo duale algebrico e siano i funzionali lineari definiti su che lo costituiscono. Si consideri l'insieme dato da:

e si definisca:

Allora:

La funzione (non-negativa) è un esempio di funzionale di Minkowski che è:

  • subadditivo, ovvero .
  • omogeneo, ovvero per tutti gli .

Quindi è una seminorma su , che lo munisce di una topologia. Si nota che non implica , e di conseguenza la topologia risultante da una famiglia di tali seminorme non è di Hausdorff.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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