Prodotto di Wallis

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In matematica per prodotto di Wallis si intende un'espressione del valore di π trovata nel 1655 dal matematico John Wallis.

Dimostrazione

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Consideriamo innanzitutto che le radici di sin(x)/x sono ±nπ, dove n = 1, 2, 3, ... Possiamo quindi esprimere il seno tramite un prodotto infinito di fattori lineari dati dalle sue radici:

Per trovare la costante k, consideriamo il limite da entrambe le direzioni:

Sfruttando il fatto che:

ricaviamo k=1. Dunque otteniamo la seguente formula di Eulero-Wallis per il seno:

Poniamo x=π/2,

QED

Legame con l'approssimazione di Stirling

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L'approssimazione di Stirling per stabilisce che

per . Consideriamo ora l'approssimazione finita con il prodotto di Wallis, ottenuta prendendo i primi termini del prodotto:

può essere scritto come

Sostituendo l'approssimazione di Stirling in questa espressione (sia per che per ) possiamo dedurre (dopo un breve calcolo) che converge a per .

Collegamenti esterni

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